Статья 7116

Название статьи

ПРОЕКЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ГИПЕРСИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
НА ФРАКТАЛАХ

Авторы

Бойков Илья Владимирович, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой высшей и прикладной математики, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40), boikov@pnzgu.ru
Бойкова Алла Ильинична, кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра высшей и прикладной математики, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40), math@pnzgu.ru
Айкашев Павел Владимирович, аспирант, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40), math@pnzgu.ru

Индекс УДК

517.392

Аннотация

Актуальность и цели. Приближенные методы решения гиперсингулярных интегральных уравнений являются активно развивающимся направлением вычислительной математики. Это связано с многочисленными приложениями гиперсингулярных интегральных уравнений в аэродинамике, электродинамике, физике и с тем обстоятельством, что аналитические решения гиперсингулярных интегральных уравнений возможны лишь в исключительных случаях. Помимо непосредственных приложений в физике и технике, гиперсингулярные интегральные уравнения первого рода возникают при приближенном решении граничных задач математической физики. В последнее время интерес к исследованию аналитических и численных методов решения гиперсингулярных интегральных уравнений значительно усилился в связи с активным применением методов фрактальной геометрии в радиотехнике и радиолокации. Оказалось, что одним из основных методов моделирования фрактальных антенн являются гиперсингулярные интегральные уравнения. В данной работе предложены и обоснованы сплайн-коллокационные методы нулевого и первого порядков для решения гиперсингулярных интегральных уравнений на фракталах.
Материалы и методы. В работе используются методы функционального анализа и теории приближения. Рассмотрены линейные одномерные и двумерные гиперсингулярные интегральные уравнения на фракталах. Для определенности в случае одномерного интеграла в качестве области интегрирования взято совершенное множество Кантора, в случае двумерного – ковер Серпинского. Построены проекционные вычислительные схемы, обоснование которых проводится на основе анализа логарифмических норм соответствующих матриц.
Результаты. Построены три вычислительные схемы решения гиперсингулярных интегральных уравнений на фракталах различного вида и размерности. Получены оценки быстроты сходимости и погрешности вычислительных схем. Построенные вычислительные схемы являются моделями для построения и обоснования вычислительных схем на фракталах различной природы.
Выводы. Построены и обоснованы вычислительные схемы приближенного решения гиперсингулярных интегральных уравнений первого и второго рода на модельных фракталах. В качестве модельных фракталов взято совершенное множество Кантора и ковер Серпинского. Полученные результаты могут быть использованы при моделировании фрактальных антенн.

Ключевые слова

гиперсингулярные интегральные уравнения, проекционные методы, фракталы, фрактальные антенны

Скачать статью в формате PDF
Список литературы

1. Кроновер,Р.М.Фракталы и хаос в динамических системах/Р.М.Кроновер.-М.:Техносфера,2006.–488с.
2. Boykov, I. V. An approximate solution of hypersingular integral equations / I. V. Boykov, E. S. Ventsel, A. I. Boykova // Applied Numerical Mathematics. – 2010. – Vol. 60 (6). – P. 607–628.
3. Бойков, И. В. Приближенное решение интегральных уравнений Фредгольма с интегралом в смысле главного значения Коши – Адамара / И. В. Бойков // Функциональный анализ и теория функций. – Вып. 7. – Казань : Изд-во КГУ, 1970. – С. 3–23.
4. Boykov, I. V. An approximate solution of nonlinear hypersingular integral equations / I. V. Boykov, E. S. Ventsel, V. A. Roudnev, A. I. Boykova // Applied Numerical Mathematics. – 2014.–Vol.86,December.–P.1–21.
5. Capobiano, M. R. On the numerical solution of a nonlinear integral equation of Prandtl's type / M. R. Capobiano, G. Criscuolo, P. Junghanns // Operator Theory: Advances and Applications. – 2005. – Vol. 160. –Р. 53–79.
6. Вайникко, Г. М. Численные методы в гиперсингулярных интегральных уравнениях и их приложения / Г. М. Вайникко, И. К. Лифанов, Л. Н. Полтавский. – М. : Янус-К, 2001. – 508 с.
7. Оселедец, И. В. Приближенное обращение матриц / И. В. Оселедец, Е. Е. Тыртышников // Журнал вычисслительной математики и математической физики. – 2005. – Т. 45, № 2. – C. 315–326.
8. Бойков, И. В. Приближенное решение гиперсингулярных интегральных уравнений первого рода / И. В. Бойков, А. И. Бойкова, М. А. Сёмов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2015. – № 3 (35). – С. 11–27.
9. Бойков, И. В. К приближенному решению сингулярных интегродифференциальных уравнений. 1 [линейные уравнения] / И. В. Бойков, И. И. Жечев // Дифференциальные уравнения. – 1973. – Т. 9, № 8. – C. 1493–1502.
10. Бойков, И. В. К приближенному решению сингулярных интегродифференциальных уравнений. 2 [нелинейные уравнения] / И. В. Бойков, И. И. Жечев // Дифференциальные уравнения. – 1975. – Т. 11, № 3. – C. 562–571.
11. Бойков, И. В. Приближенное решение линейных гиперсингулярных интегральных уравнений методом коллокаций / И. В. Бойков, Ю. Ф. Захарова, М. А. Сёмов, А. А. Есафьев // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки.–2014.–№3(31).–С.101–113.
12. Бойков, И. В. Приближенное решение гиперсингулярных интегральных уравнений на предфракталах / И. В. Бойков, А. И. Бойкова, П. В. Айкашев // Математическое и компьютерное моделирование естественно-научных и социальных проблем : сб. ст. IX Междунар. науч.-техн. конф. молодых специалистов, аспирантов и студентов. – Пенза : Изд-во ПГУ, 2015. – С. 49–58.
13. Далецкий, Ю. Л. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве / Ю. Л. Далецкий, М. Г. Крейн. – М. : Наука, 1970. – 534 с.
14. Деккер, К. Устойчивость методов Рунге-Кутты для жестких нелинейных дифференциальных уравнений / К. Деккер, Я. Вервер. – М. : Мир, 1988.
15. Лозинский, С. М. Замечание о статье В. С. Годлевского / С. М. Лозинский // Журнал вычислительной математики и математической физики. – 1973. – № 2. – С. 457–459.
16. Адамар, Ж. Задача Коши для линейных уравнений с частными производными гиперболического типа / Ж. Адамар. – М. : Наука, 1978. – 351 с.
17. Бойков, И. В. Приближенные методы вычисления сингулярных и гиперсингулярных интегралов. Ч. 2. Гиперсингулярные интегралы / И. В. Бойков. – Пенза : Изд-во ПГУ, 2009. – 252 с.
18. Бойков, И. В. Приближенные методы решения гиперсингулярных интегральных уравнений на фракталах. Вычислительный эксперимент / И. В. Бойков, П. В. Айкашев // Математическое и компьютерное моделирование естественно-научных и социальных проблем : сб. ст. X Междунар. науч.-техн. конф. – Пенза : Изд-во ПГУ, 2016.

 

Дата создания: 23.05.2016 14:35
Дата обновления: 26.08.2016 09:41